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linlin9 2012-9-8 11:03

庫侖定律

靜電學最基本的定律是庫侖定律。一個點電荷 q 作用於另一個點電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F} ,可以用庫侖定律計算出來。點電荷是理想化的帶電粒子。在這裡,稱點電荷 q 為源點電荷,稱點電荷 Q 為檢驗電荷。靜電力的大小跟兩個點電荷之間的距離的平方成反比,跟 q 、Q 的乘積成正比,作用力的方向沿連線,同號電荷相斥,異號電荷相吸:

    \mathbf{F}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{r^2}\hat{\mathbf{r}} ;

其中,\epsilon_0=8.854\ 187\ 817\ \times 10^{-12} C2N−1m−2是電常數,\mathbf{r} 是從源點電荷 q 指向檢驗電荷 Q 的向量,\hat{\mathbf{r}} 是其單位向量。
[編輯] 電場

電場 \mathbf{E} 定義為作用於一個檢驗電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F} 除以 Q :

    \mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{F}(\mathbf{r}) /Q 。

從這個定義和庫侖定律,一個源點電荷 q 產生的電場可以表達為

    \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}} 。

[編輯] 疊加原理

在靜電學裡,疊加原理闡明,任何兩個點電荷的交互作用與其它點電荷無關。因此,給予 N 個點電荷,我們可以應用庫侖定律,單獨地計算每一個源點電荷 qi 作用於檢驗電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F}_{i} 。這樣,作用於檢驗電荷 Q 的總靜電力 \mathbf{F} 是

    \mathbf{F}= \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_{i} 。

我們可以得到這便利。原因是庫侖定律線性地相依於源點電荷 qi 。

將作用力除以檢驗電荷 Q ,可以得到電場。所以,總電場 \mathbf{E} 為

    \mathbf{E}= \sum_{i=1}^N \mathbf{E}_{i} ;

其中,\mathbf{E}_{i} 是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電場。

類似地,電位也遵守疊加原理:

    V= \sum_{i=1}^N V_{i} ;

其中,Vi 是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電位。
[編輯] 高斯定律

高斯定律闡明,流出一個閉表面的電通量與這閉曲面內含的總電荷量成正比。比例常數是電常數的倒數。用積分方程式形式表達,

    \oint_S\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{A} =\frac{1}{\epsilon_0} \int_\mathbb{V}\rho\cdot\mathrm{d}V ;

其中,\mathrm{d}\mathbf{A} 是無窮小面積元素,ρ 是電荷密度,dV 是無窮小體積元素。

用微分方程式形式表達,

    \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} 。

[編輯] 帕松方程式

綜合電位的定義和高斯定律的微分方程式,可以給出電位 V 和電荷密度 ρ 之間的關係方程式,稱為帕松方程式:

    {\nabla}^2 V = - {\rho\over\epsilon_0} 。

給予點電荷的分佈資料和充分的邊界條件,應用帕松方程式,我們可以計算在空間裏任何位置的電位 V 。根據唯一定理,這也是唯一的解答。
[編輯] 拉普拉斯方程式

假若電荷密度是零,則帕松方程式變為拉普拉斯方程式:

    {\nabla}^2 V = 0 。

給予充分的邊界條件,應用拉普拉斯方程式,我們可以計算在真空裏任何位置的電位 V 。根據唯一定理,這也是唯一的解答。
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